задачі на комбінацію конуса і піраміди

Задачі на комбінацію піраміди і конуса. Підготувала Уманець Марія,студентка 41 МЕІ

Розглянемо основні комбінації тіл: Піраміда, вписана в конус. Піраміда, описана навколо конуса.а) Правильна піраміда, вписана в конус. Розглянемо побудову відносно правильної трикутної піраміди 1. Побудувати конус.2. Вписати в основу конуса основу правильної піраміди - правильний трикутник BCD. 3. Сполучити вершину конуса S з вершинами основи піраміди.

Конус, описаний навколо піраміди. Конус називається описаним навколо піраміди,якщо його основа – круг, описаний навколооснови піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, а твірні збігаються з ребрами піраміди. Висоти конуса і піраміди збігаються на основієдиності прямої, перпендикулярної до площиниі проведеної через точку, яка не лежить у данійплощині–Н. Радіус конуса дорівнює радіусу кола, описаного навколо основи піраміди - RRHБудь-яку правильну піраміду і піраміду з рівними ребрами та кутами, які бічні ребра утворюють з основою піраміди, можна вписати в конус

Конус, вписаний в правильну піраміду. Розглянемо побудову відносно правильної чотирикутної піраміди 1. Побудуємо конус.2. Навколо основи конуса опишемо основу піраміди - квадрат KLMN. 3. Сполучимо вершину конуса S з вершинами основи піраміди.

Конус, вписаний в піраміду. Конус називається вписаним в піраміду,якщо його основа – круг, вписаний у многокутник основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, а бічна поверхня конуса дотикається бічних граней піраміди. Висоти конуса і піраміди збігаються–Н. Радіус вписаного в основу піраміди кола перпендикулярний стороні многокутника, який лежить в основі піраміди, і є проекцією твірної конуса на площину основи. Hr. Будь-яку правильну піраміду і піраміду з рівними двогранними кутами при основі або рівними висотами бічних граней можна описати навколо конуса.

Якщо в конус, висота і радіус основи якого відповідно дорівнюють 3 і 4 см, вписано правильну трикутну піраміду, то її бічне ребро дорівнює:а) 2см;б)3см; в) 4см; г) 5см. Якщо в правильну чотирикутну піраміду, висота і сторона основи якої відповідно дорівнюють 4 і 6 см, вписано конус, то твірна конуса дорівнює:а) 4см ; б) 5см ; в) 6см ; г) 8см . Конус вписаний в піраміду, якщо основа конуса вписана в основу піраміди, причому… А)вершина конуса і піраміди суміщаються. Б)вершина конуса і піраміди не суміщаються. Завдання першого рівня. Чотирикутну піраміду можна вписати в конус, якщо суми ... А) протилежних кутів в основі рівні по 180ºБ) протилежних кутів чотирикутника в основі рівні по 160ºВ) суміжних кутів чотирикутника в основі рівна по 180ºПіраміда може бути вписана в конус, …А) якщо всі її бічні грані рівні,Б) якщо всі її бічні ребра рівні,В) якщо в її основі лежить тільки трикутник. ААБГБ

Задача розв'язується усно, за готовим ма­люнком. Навколо конуса, висота якого дорівнює 10 см, описано піраміду, основою якої є ромб з висотою 20 см і гострим кутом 30°. Знайти: а) кут між твірною конуса і площиною його основи;б) площу бічної поверхні піраміди. Відповідь. Оскільки піраміду описано навколо ко­нуса, то всі її бічні грані мають рівні висоти і нахи­лені до основи під однаковими кутами. Проведемо ΜΝ (твірну конуса, або висоту бічної грані пірамі­ди): ΜΝ ┴ А В , ON — її проекція, отже, ON ┴ АВ (за теоремою про три перпендикуляри). ON — радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти ромба, ON = 10 см. Завдання другого рівня

Відповідь, а) 60°; б) 1600 см2. ВСDMONH

Піраміду, основою якої є ромб з пло­щею Q і гострим кутом β, описано навколо конуса. Знайти об'єм конуса, якщо його твірна дорівнює l. ABCDMKOРозв'язання. Нехай MABCD — дана піраміда, описана навколо конуса. Площини основ і вершини конуса та піраміди збігаються (за означенням), висота МО конуса є ви­сотою піраміди (на основі єдиності прямої, перпен­дикулярної до площини і проведеної через точку М, що не лежить у даній площині). Завдання третього рівня

Об'єм V конуса обчислюємо за формулою: V= πr2Η, де r — радіус кола, вписаного у ромб ABCD, Н - висота конуса, Н = МО. Проведемо у площині АВС ОК AD, О - точка перетину діагоналей ромба – центр кола, вписаного у нього, ОК = r – радіус цього кола. Сполучимо точки М і К, МК ┴ AD (за теоремою про три перпендикуляри), МК — висота бічної грані піраміди.

Розглядаємо ромб ABCD ( ﮮА = β, β < 90°).

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ!