Заняття №21-22 на тему «Розв’язування задач на подільність»

Заняття №21-22 на тему «Розв’язування задач на подільність»

Дане заняття відповідає діючій програмі факультативного курсу з математики для 7 класу Бевз В. Г, Бурда М. І., Прокопенко Н. С. «За лаштунками шкільної математики». Воно містить теоретичний матеріал, що відображає тему, приклади завдань з розв'язками та вправи для самостійного виконання.

Враховуючи інтереси та нахили учнів, їхню підготовленість, вчитель може доповнювати зміст заняття додатковим матеріалом, змінювати та удосконалювати методику проведення.

Тема 2. Цілі вирази та їх перетворення

Заняття 21 – 22

Розв’язування задач на подільність

Розглянемо різні підходи до розв'язування завдань на подільність. Під час оцінювання подільності використовують ознаки подільності на 2, 3, 5, 9,10.

Можна також оцінювати подільність, використовуючи розкладання виразу на множники та через використання узагальнених формул скороченого множення. При цьому будемо користуватися такими твердженнями:

1. Двочлен х^2п-у^2п ділиться на (х-у)  та (х+у), .
2. Двочлен х^2п+1+у^2п+1 ділиться на  (х+у), .
3. Двочлен х^2п+1-у^2п+1 ділиться на  (х-у), .

Розв'язування задач і вправ.

•             Довести, що число 2²⁰+3²⁰+4²⁰+7²¹ ділиться на 10.

Розв'язання.

Для подільності числа на 10 необхідно і достатньо, щоб остання його цифра була 0, тобто сума одиниць усіх доданків повинна закінчуватися нулем. Оцінимо останню цифру доданків:

2²⁰ =2^4·5==(2⁴)⁵ - закінчується цифрою 6;

3²⁰=3^4∙5=(3⁴)⁵ - закінчується цифрою 1;

4²⁰=2²⁰∙2²⁰ - закінчується цифрою 6;

7²¹=7²⁰·7=(7⁴)⁵∙7 – закінчується цифрою 7.

Сума останніх цифр 6+6+1+7=20 – закінчується нулем. Отже, число ділиться на 10.

•             Довести, що (96⁷-22⁵-48⁶).

Розв'язання.

Справді, 96⁷ – закінчується цифрою 2;

22⁵=22⁴·22 - закінчується цифрою 2;

48⁶=48⁴∙4² - закінчується цифрою 4.

Сума останніх цифр 6-2-4=0 – закінчується нулем. Отже, число ділиться на 10.

•             Довести, що:

1. (8¹⁰-8⁹-8⁸);
2. 81⁷-27⁹-9¹³;
3. (45⁴⁵·15¹⁵) .

Розв'язання.

1. 8¹⁰-8⁹-8⁸= 8⁸(8²-8-1)=8⁸(64-9)=(8⁸∙55);
2. 81⁷-27⁹-9¹³=3²⁸-3²⁷-3²⁶=3²⁶·5=3²⁵∙3·5=(3²⁵∙15) ;
3. 45⁴⁵·15¹⁵=(15·3)⁴⁵∙15¹⁵=15⁴⁵·3⁴⁵∙15¹⁵=15⁶⁰·3⁴⁵=(5·3)⁶⁰ ∙ 3⁴⁵=5⁶⁰·3⁶⁰∙3⁴⁵=(5⁶⁰·3³⁰) 3⁴⁵· 3³⁰⁼(25³⁰· 3³⁰)∙3⁷⁵=(75³⁰·3⁷⁵)75³⁰.

•             Довести, що:

1. (7¹⁰-3¹⁰) ;
2. (28¹⁵⁰-12¹⁵⁰)   і   (28¹⁵⁰-12¹⁵⁰) .

Розв'язання.

1. Справді, за твердженням 1) (7¹⁰-3¹⁰) ;
2. Число 150 – парне, тому (28¹⁵⁰-12¹⁵⁰)   тобто двочлен ділиться на 16.

А також  (28¹⁵⁰-12¹⁵⁰) , тобто двочлен ділиться на 40.

Завдання для самостійного розв’язування.

Довести, що:

1. (56¹⁴-14¹⁴) ділиться на 70 та 42;
2. (37¹⁹⁸⁹-12¹⁹⁸⁹) ;
3. (93¹⁷+7¹⁷) ;
4. (843¹⁹⁸⁹+157¹⁹⁸⁹) ;
5. (281⁹-81⁹)

 Використана література

1. Адлер А. Теорія геометричних побудов, Переклад з німецької Г. М. Фіхтенгольца. Видання третє. Л., Навчпедвид, 1940—232 с.
2. Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
3. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
4. Воронець О. М. Геометрія циркуля, Популярна бібліотека з математики під загальною редакцією Л. О. Люстерника, М.- Л., ОНТІ, 1934 — 40 с.
5. Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с.
6. Манін Ю. І., Про розв'язність задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки, Енциклопедія елементарної математики книга четверта (геометрія), М., Фізматвид, 1963. — 568с.
7. Петерсен Ю. Методи і теорії розв'язку геометричних задач на побудову, Москва, типографія Э.Ліснера та Ю.Романа, 1892 — VIII + 114с.
8. Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. М.: Наука, 1992. 80 с. Серія <Популярні лекції з математики>, випуск 62.
9. Щетников А. І. Як було знайдено де-які розв'язки трьох класичних задач древності? Математична освіта, № 4 (48), 2008, с. 3-15.
10. Слива Н. В.Математика 7клас. Факультативний курс http://www.fak-matematika_7_klas_sliva_n.v.