Заняття на тему: "Розв’язання найпростіших задач на визначення ймовірності"

Тема заняття: "Розв’язання найпростіших задач на визначення ймовірності"

Мета: Закріплення теоретичних знань, формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет вероятности случайного события.

Тип заняття: практичне заняття з використанням комп’ютерів.

Обладнання: мультимедійний проектор, персональні комп’ютери.

План заняття

1. Постановка мети та задач заняття.

Сьогодні на занятті ми будемо говорити про ймовірністі. Ймовірність відноситься до числа понять, якими ми охоче користуємося в повсякденному житті, зовсім не замислюючись про це. Наприклад, навіть наша мова носить відбиток стихійно-імовірнісного підходу до навколишньої дійсності:

- Ми підемо завтра в кіно?

- ймовірно…

- Ти впевнений, що Іванов Микола стане «Студентом року»?

- мал ймовірно …

- Ти чув, що Сергій склав іспит з вищої математики на відмінно?

-неймовірно!!!

Вже в цих коротких репліках «ймовірно, малоймовірно, неймовірно» є спроба оцінити можливість появи тій чи іншій події.

Суспільство все глибше починає вивчати себе і прагне зробити прогнози про самого себе і про явища природи, які вимагають уявлень про ймовірність. Навіть у прогнозі погоди повідомляють про те, що завтра ймовірність опадів збільшиться, залишаючи бабусь у повній розгубленості: чи брати парасольку?

Ідея висловлювати числами ступінь можливості появи тих чи інших подій виникла після того, як люди спостерігали безліч прикладів, в яких виявлялася дивовижна здатність явищ повторюватися досить часто. Задачі, які ми сьогодні будемо розв’язувати, допоможуть вам творити, думати незвично, оригінально, бачити те, повз чого ви часто проходили не помічаючи, долати труднощі. І, нарешті, ми в черговий раз переконаємося, що наш світ сповнений математики і продовжимо дослідження на предмет виявлення теорії ймовірностей навколо нас.

Перевіримо, на скільки ви готові до заняття. Дайте відповіді на наступні запитання.

2. Фронтальна перевірка  раніше вивченого теоретичного матеріалу:

1. Що вивчає теорія ймовірностей?

2. Дайте визначення випробування та події.

3. Які бувають події?

4. Яка подія називається достовірною?

5. Яка подія називається неможливою?

6. Яка подія називається випадковою?

7. Які події називаються рівноможливими?

8. Які події називаються несумісними?

9. Які події називаються протилежними?

10. Які події називаються залежними?

11. Дайте визначення ймовірності події.

12.Якими властивостями володіє ймовірність.

13. Дайте визначення суми подій та сформулюйте теорему додавання ймовірностей.

14. Дайте визначення добутку подій та сформулюйте теорему добутку ймовірностей.

3. Виконання завдання  «Відгадай слово».

Сьогодні на занятті ми будемо розв'язувати задачі з теорії ймовірностей. У багатьох задачах для знаходження числа випадків використовуються формули комбінаторики. Перевіримо ваше уміння працювати з формулами комбінаторики. Виконавши дії, розташуйте відповіді в порядку убування і отримаєте закодоване слово.

4. Доповідь студента «З історії теорії ймовірності» (см. приложение 167153)

5.Виконання завдання «Види подій».

Основним поняттям теорії ймовірностей є поняття події. Як ми з’ясували, події бувають достовірні, неможливі та випадкові. Виконуючи завдання, ви повинні провести дослідження і розподілити перелічені події в таблиці.

Дослідіть види подій. Результати дослідження занесіть у таблицю.

1: вночі світить сонце

2: 1 січня - святковий день

3: опівночі випаде сніг, а через 24 години буде світити сонце

4: при підкиданні гральної кістки випало 7 очок

5: при підкиданні гральної кістки випало число очок, менше 7

6: при телефонному дзвінку абонент виявився зайнятий

7: при підкиданні гральної кістки випало 2 очки

8: навчальний рік коли-небудь закінчиться

9: бутерброд впаде маслом вниз

10: ви виграєте, беручи участь у лотереї

11: 30 лютого буде дощ

12: завтра сонце зійде на заході

13: влітку у школярів канікули будуть

14: при підкиданні  гральної кістки випало парне число очок

15: 1 липня в Одесі буде сонячно

16: після четверга буде п'ятниця

17: день народження мого друга - число, менше ніж 32

6. Виконання завдання «Розв’язання задач з теорії ймовірності» (см. приложение 2).

Задача 1. При підкиданні гральної кістки обчисліть ймовірність таких подій:

А: выпало парне число очок;

В: число випавших очок кратно трьом.

Решение

Число возможных исходов при броске игральной кости равно 6.

Из них наступлению события А благоприятствуют 3 исхода (2,4,6). 

Поэтому Р(А) = 3/6 = 0,5.

Наступлению события В благоприятствуют  2 исхода (3,6).

Поэтому Р(В) = 2/6  ≈ 0,33.

Задача 2. З коробки, в якій знаходяться 12 білих та 8 чорних кульок, дістають навмання дві кульки. Знайдіть ймовірність того, що обидві кульки виявляться чорними.

Решение

А – из урны достали два черных шара.

Задача 3. Маленькому Петрику суворо було заборонено заходити в кабінет свого тата. Одного разу, коли батьків не було вдома, Петрик порушив заборону і грав у батьковому кабінеті. Розігравшись, він впустив сім книг з полиці. Виходячи з кабінету, Петро поставив книги на полицю в довільному порядку. Яка ймовірність того, що тато не дізнається про Петрика візит?

Решение

При  произвольной расстановке семи книг число возможных исходов равно

Из них только один исход благоприятствует Пете.

Поэтому вероятность того, что проступок Пети не будет обнаружен,  равна

1/5040 ≈ 0,0002.

Задача 4. У розповсюджувача є 20 квитків книжкової лотереї, серед яких 7 виграшних. Куплено 3 квитка. Використовуючи поняття протилежної події знайти ймовірність того, що хоча б один з куплених квитків виявиться виграшний.

Решение

Число всех возможных исходов равно

Из них благоприятных исходов только один.

Поэтому, вероятность правильного  выбора  инструментов равна 1/35 ≈0,029.

Задача 5 З десяти спортсменів тренер повинен відібрати в команду сімох. Яка ймовірність того, що він обере спортсменів з номерами 1,2,3,4,5,6,7 в зазначеному порядку? 

Решение

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих наступлению данного события, равно 1.

Вероятность события равна 1 / 604800 ≈ 0,000002

Задача 6. У продавця є 7 червоних, 8 синіх і 5 зелених куль. Обчислити ймовірність того, що куплена куля виявиться синьою або зеленою.

Решение

А: куплен синий шар;

В: куплен зеленый шар;

С: куплен синий или зеленый шар.

Т.к. , то

Задача 7. У першій урні лежать 5 жовтих та 3 червоні кулі, а у другій урні -3 жовтих і 7 червоних. З кожної урни вийняли по кулі. Обчислити ймовірність того, що обидві кулі виявляться жовтими.

Решение

А: из первой  урны вынули желтый шар;

В: из второй урны  вынули  желтый шар;

С: Из обеих урн вынули желтые шары.

Т.к. , то

7.Игра «Крестики-нолики» (см. приложение 3)

Игра проводится на персональных компьютерах. Игровое поле состоит из девяти квадратов. Студент выбирает любой квадрат и открывает условие задачи, к которой даны четыре ответа. Один из этих ответов правильный. Решив задачу, студент мышкой выбирает один из предложенных ответов. Если задача решена правильно, то на экране появляется крестик. В бланке ответов студент маркером ставит крестик в выбранном квадрате, записывает ответ и возвращается на игровое поле. Если же задача решена неправильно, то на экране появляется нуль. В бланке отчета студент маркером ставит нуль в выбранном квадрате и возвращается на игровое поле. В игре используются разнообразные задачи по теории вероятностей:

1. В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Решение:

А: взятая наугад деталь оказалась стандартной.

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно 95. Поэтому вероятность события равна

2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

Решение:

А: из рассыпанных букв сложится слово «книга»

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих событию А равно

Вероятность события А равна

3. В урне лежат 20 одинаковых на ощупь шаров: 12 белых и 8 черных. Какова вероятность вынуть наудачу два белых шара?

Решение:

А: вынуты наудачу два белых шара

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А равно

Вероятность события А равна

4. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему три вопроса?

Решение:

А: студент знает предложенные ему три вопроса

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А равно

Вероятность события А равна

5. В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение:

А: взяли синий карандаш

В: взяли зеленый карандаш

С: взяли синий или зеленый карандаш

Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В

Вероятность события А равна

Вероятность события В равна

Вероятность события С равна

6. В одной коробке находится 4 белых и 8 черных шаров, а в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой коробки вынули по шару. Вычислить вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение:

А: из первой коробки вынули белый шар

В: из второй коробки вынули белый шар

С: из коробок вынули белые шары

Вероятность события А равна

Вероятность события В равна

Вероятность события С равна

7. На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на карточках, равна десяти?

Решение:

А: сумма чисел, написанных на карточках, равна десяти

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих событию А равно 4 ( 1+ 9; 2+8; 3+7; 4+6 )

Вероятность события А равна

8.Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение:

А: абонент наугад набрал нужные цифры

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих событию А m = 1

Вероятность события А равна

9. В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15?

Решение:

А: вынут шар с номером 15

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих событию А m = 1

Вероятность события А равна

8. Подведение итогов урока.

Продолжите фразу:

Сегодня на уроке я познакомился …

Сегодня на уроке я повторил …

Сегодня на уроке я научился …

Сегодня на уроке я узнал, что …

Домашнее задание:

1. И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул "Математика для техникумов" №11.23, №11.24, 11.28, №11.29

Тема заняття: "Розв’язання найпростіших задач на визначення ймовірності"

Мета: Закріплення теоретичних знань, формирование умения решать простейшие текстовые задачи на расчет вероятности случайного события.

Тип заняття: практичне заняття з використанням комп’ютерів.

Обладнання: мультимедійний проектор, персональні комп’ютери.

План заняття

1. Постановка мети та задач заняття.

Сьогодні на занятті ми будемо говорити про ймовірністі. Ймовірність відноситься до числа понять, якими ми охоче користуємося в повсякденному житті, зовсім не замислюючись про це. Наприклад, навіть наша мова носить відбиток стихійно-імовірнісного підходу до навколишньої дійсності:

- Ми підемо завтра в кіно?

- ймовірно…

- Ти впевнений, що Іванов Микола стане «Студентом року»?

- мал ймовірно …

- Ти чув, що Сергій склав іспит з вищої математики на відмінно?

-неймовірно!!!

Вже в цих коротких репліках «ймовірно, малоймовірно, неймовірно» є спроба оцінити можливість появи тій чи іншій події.

Суспільство все глибше починає вивчати себе і прагне зробити прогнози про самого себе і про явища природи, які вимагають уявлень про ймовірність. Навіть у прогнозі погоди повідомляють про те, що завтра ймовірність опадів збільшиться, залишаючи бабусь у повній розгубленості: чи брати парасольку?

Ідея висловлювати числами ступінь можливості появи тих чи інших подій виникла після того, як люди спостерігали безліч прикладів, в яких виявлялася дивовижна здатність явищ повторюватися досить часто. Задачі, які ми сьогодні будемо розв’язувати, допоможуть вам творити, думати незвично, оригінально, бачити те, повз чого ви часто проходили не помічаючи, долати труднощі. І, нарешті, ми в черговий раз переконаємося, що наш світ сповнений математики і продовжимо дослідження на предмет виявлення теорії ймовірностей навколо нас.

Перевіримо, на скільки ви готові до заняття. Дайте відповіді на наступні запитання.

2. Фронтальна перевірка  раніше вивченого теоретичного матеріалу:

1. Що вивчає теорія ймовірностей?

2. Дайте визначення випробування та події.

3. Які бувають події?

4. Яка подія називається достовірною?

5. Яка подія називається неможливою?

6. Яка подія називається випадковою?

7. Які події називаються рівноможливими?

8. Які події називаються несумісними?

9. Які події називаються протилежними?

10. Які події називаються залежними?

11. Дайте визначення ймовірності події.

12.Якими властивостями володіє ймовірність.

13. Дайте визначення суми подій та сформулюйте теорему додавання ймовірностей.

14. Дайте визначення добутку подій та сформулюйте теорему добутку ймовірностей.

3. Виконання завдання  «Відгадай слово».

Сьогодні на занятті ми будемо розв'язувати задачі з теорії ймовірностей. У багатьох задачах для знаходження числа випадків використовуються формули комбінаторики. Перевіримо ваше уміння працювати з формулами комбінаторики. Виконавши дії, розташуйте відповіді в порядку убування і отримаєте закодоване слово.

4. Доповідь студента «З історії теорії ймовірності» (см. приложение 167153)

5.Виконання завдання «Види подій».

Основним поняттям теорії ймовірностей є поняття події. Як ми з’ясували, події бувають достовірні, неможливі та випадкові. Виконуючи завдання, ви повинні провести дослідження і розподілити перелічені події в таблиці.

Дослідіть види подій. Результати дослідження занесіть у таблицю.

1: вночі світить сонце

2: 1 січня - святковий день

3: опівночі випаде сніг, а через 24 години буде світити сонце

4: при підкиданні гральної кістки випало 7 очок

5: при підкиданні гральної кістки випало число очок, менше 7

6: при телефонному дзвінку абонент виявився зайнятий

7: при підкиданні гральної кістки випало 2 очки

8: навчальний рік коли-небудь закінчиться

9: бутерброд впаде маслом вниз

10: ви виграєте, беручи участь у лотереї

11: 30 лютого буде дощ

12: завтра сонце зійде на заході

13: влітку у школярів канікули будуть

14: при підкиданні  гральної кістки випало парне число очок

15: 1 липня в Одесі буде сонячно

16: після четверга буде п'ятниця

17: день народження мого друга - число, менше ніж 32

6. Виконання завдання «Розв’язання задач з теорії ймовірності» (см. приложение 2).

Задача 1. При підкиданні гральної кістки обчисліть ймовірність таких подій:

А: выпало парне число очок;

В: число випавших очок кратно трьом.

Решение

Число возможных исходов при броске игральной кости равно 6.

Из них наступлению события А благоприятствуют 3 исхода (2,4,6). 

Поэтому Р(А) = 3/6 = 0,5.

Наступлению события В благоприятствуют  2 исхода (3,6).

Поэтому Р(В) = 2/6  ≈ 0,33.

Задача 2. З коробки, в якій знаходяться 12 білих та 8 чорних кульок, дістають навмання дві кульки. Знайдіть ймовірність того, що обидві кульки виявляться чорними.

Решение

А – из урны достали два черных шара.

Задача 3. Маленькому Петрику суворо було заборонено заходити в кабінет свого тата. Одного разу, коли батьків не було вдома, Петрик порушив заборону і грав у батьковому кабінеті. Розігравшись, він впустив сім книг з полиці. Виходячи з кабінету, Петро поставив книги на полицю в довільному порядку. Яка ймовірність того, що тато не дізнається про Петрика візит?

Решение

При  произвольной расстановке семи книг число возможных исходов равно

Из них только один исход благоприятствует Пете.

Поэтому вероятность того, что проступок Пети не будет обнаружен,  равна

1/5040 ≈ 0,0002.

Задача 4. У розповсюджувача є 20 квитків книжкової лотереї, серед яких 7 виграшних. Куплено 3 квитка. Використовуючи поняття протилежної події знайти ймовірність того, що хоча б один з куплених квитків виявиться виграшний.

Решение

Число всех возможных исходов равно

Из них благоприятных исходов только один.

Поэтому, вероятность правильного  выбора  инструментов равна 1/35 ≈0,029.

Задача 5 З десяти спортсменів тренер повинен відібрати в команду сімох. Яка ймовірність того, що він обере спортсменів з номерами 1,2,3,4,5,6,7 в зазначеному порядку? 

Решение

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих наступлению данного события, равно 1.

Вероятность события равна 1 / 604800 ≈ 0,000002

Задача 6. У продавця є 7 червоних, 8 синіх і 5 зелених куль. Обчислити ймовірність того, що куплена куля виявиться синьою або зеленою.

Решение

А: куплен синий шар;

В: куплен зеленый шар;

С: куплен синий или зеленый шар.

Т.к. , то

Задача 7. У першій урні лежать 5 жовтих та 3 червоні кулі, а у другій урні -3 жовтих і 7 червоних. З кожної урни вийняли по кулі. Обчислити ймовірність того, що обидві кулі виявляться жовтими.

Решение

А: из первой  урны вынули желтый шар;

В: из второй урны  вынули  желтый шар;

С: Из обеих урн вынули желтые шары.

Т.к. , то

7.Игра «Крестики-нолики» (см. приложение 3)

Игра проводится на персональных компьютерах. Игровое поле состоит из девяти квадратов. Студент выбирает любой квадрат и открывает условие задачи, к которой даны четыре ответа. Один из этих ответов правильный. Решив задачу, студент мышкой выбирает один из предложенных ответов. Если задача решена правильно, то на экране появляется крестик. В бланке ответов студент маркером ставит крестик в выбранном квадрате, записывает ответ и возвращается на игровое поле. Если же задача решена неправильно, то на экране появляется нуль. В бланке отчета студент маркером ставит нуль в выбранном квадрате и возвращается на игровое поле. В игре используются разнообразные задачи по теории вероятностей:

1. В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Решение:

А: взятая наугад деталь оказалась стандартной.

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно 95. Поэтому вероятность события равна

2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

Решение:

А: из рассыпанных букв сложится слово «книга»

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих событию А равно

Вероятность события А равна

3. В урне лежат 20 одинаковых на ощупь шаров: 12 белых и 8 черных. Какова вероятность вынуть наудачу два белых шара?

Решение:

А: вынуты наудачу два белых шара

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А равно

Вероятность события А равна

4. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему три вопроса?

Решение:

А: студент знает предложенные ему три вопроса

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А равно

Вероятность события А равна

5. В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение:

А: взяли синий карандаш

В: взяли зеленый карандаш

С: взяли синий или зеленый карандаш

Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В

Вероятность события А равна

Вероятность события В равна

Вероятность события С равна

6. В одной коробке находится 4 белых и 8 черных шаров, а в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой коробки вынули по шару. Вычислить вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение:

А: из первой коробки вынули белый шар

В: из второй коробки вынули белый шар

С: из коробок вынули белые шары

Вероятность события А равна

Вероятность события В равна

Вероятность события С равна

7. На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на карточках, равна десяти?

Решение:

А: сумма чисел, написанных на карточках, равна десяти

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих событию А равно 4 ( 1+ 9; 2+8; 3+7; 4+6 )

Вероятность события А равна

8.Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение:

А: абонент наугад набрал нужные цифры

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих событию А m = 1

Вероятность события А равна

9. В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15?

Решение:

А: вынут шар с номером 15

Число всех возможных исходов равно

Число исходов, благоприятствующих событию А m = 1

Вероятность события А равна

8. Подведение итогов урока.

Продолжите фразу:

Сегодня на уроке я познакомился …

Сегодня на уроке я повторил …

Сегодня на уроке я научился …

Сегодня на уроке я узнал, что …

Домашнее задание:

1. И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул "Математика для техникумов" №11.23, №11.24, 11.28, №11.29