Створення інформаційного середовища для самостійного вивчення навчальної теми з геометрії для учнів сімейної форми навчання

Про матеріал

Іінформаційний матеріал для самостійного вивчення навчальної теми з геометрії в 10-му класі для учнів сімейної форми навчання

Перегляд файлу

Зміст

Актуальність власної методичної знахідки…………………….. 2
Новизна власної методичної знахідки ………………………….. 7
Практична значущість методичної знахідки …………………… 10
Огляд і аналіз літератури………………………………………… 12
Джерела інформаційного математичного середовища для самостійного вивчення навчальної теми з геометрії «Перпендикулярність прямих і площин у просторі»,10клас..... 16

а) Вступ

б) Джерела навчальної інформації

в) Методичні рекомендації для вивчення теми

г) Методичні поради щодо вивчення теми

д) Словник до теми

е) Інформація для запам’ятовування

є) Джерела додаткових навчальних матеріалів

ж) Джерела для самоперевірки знань

з) Задачі ЗНО минулих років

и) Тематика творчих робіт

ї) Джерела методичної інформації

к) Додаткові методичні матеріали

6) Висновки…………………………………………………………… 37

7) Бібліографія………………………………………………………....39

8) Додатки………………………………………………...……………40

9) Результат роботи

«Освіта — це та сфера людської діяльності,

яка є фундаментом або розвитку суспільства,

або його деградації». Є. С. Полат

Дистанційна, індивідуальна, сімейна форми освіти… Ми ніколи не замислювалися, що настане час, коли особисто станемо учасником цього процесу. «Дистанційне навчання» сьогодні на устах у кожного: як у здобувачів освіти усіх ланок, починаючи з учнів, батьків, учителів, викладачів, адміністрації, так і навіть у пересічних громадян. В період пандемії короновірусної інфекції кожен став учасником цього процесу. Але найбільша відповідальність за організацію дистанційного навчання лягла на плечі вчителів та батьків. Педагогам насамперед довелося самостійно і мобільно опанувати онлайн-сервіси, інтернет-ресурси, а потім дистанційно навчати своїх учнів та їх батьків, які вимушені були вникнути в цей процес. Учні швидко адаптувалися, адже онлайн-середовище для них звичне.

З початку повномасштабного військового вторгнення росії в Україну чимала кількість українських дітей покинули її територію. Незалежно від місця, де вони перебувають, Україна гарантує цим дітям організацію навчання в дистанційній або в будь-якій іншій формі, що є найбільш безпечною для учнів.

Математика як навчальна дисципліна має великі можливості для реалізації дистанційного навчання, оскільки використання цифрових технологій дозволяє посилити прикладну та практичну спрямованість курсу математики та створює умови для реалізації індивідуального підходу на якісно новому рівні, надає додаткові можливості освітньому процесу. Сучасний учитель повинен уміти формувати за допомогою інформаційних технологій освітнє середовище, що забезпечує належний рівень навчання, моделювати індивідуальні траєкторії навчання та розвитку учнів, а також власний маршрут професійного зростання.

Сімейна форма навчання покладає організацію освітнього процесу на батьків, які хочуть і можуть навчати дітей удома. Ця форма стала рятівним колом для багатьох батьків дітей з особливими освітніми потребами, поки інклюзія перебуває на початковому етапі впровадження. Цією можливістю користуються сім’ї, які на час воєнного стану виїхали за межі України чи з певних причини не хочуть, аби дитина перебувала в закладі освіти. І хоча часто ці батьки не мають педагогічної освіти – вони максимально включені в потреби своїх дітей, чітко уявляють їхні можливості, інтереси та здібності, особливості мотивації. У результаті аналізу теорії та практики організації освітнього процесу в різних ситуаціях виникає ряд проблемних ситуацій, які необхідно вирішувати, а саме:

ПРОБЛЕМНА СИТУАЦІЯ 1

Дитина захворіла. З ким не буває? Пропускає уроки. Лікарі не рекомендують відвідувати заклад освіти. Як бути?

ПРОБЛЕМНА СИТУАЦІЯ 2

У регіоні епідемія. Оголошено карантин. Освітній процес відбувається в режимі онлайн. В сім’ї на декілька дітей один комп’ютер. Як бути?

ПРОБЛЕМНА СИТУАЦІЯ 3

Перебої з електропостачанням, погана мережа «Інтернет». Як бути?

ПРОБЛЕМНА СИТУАЦІЯ 4

У сім'ї є дитина-інвалід. Вона за станом здоров'я не може відвідувати заклад освіти, але здобути освіту дитині необхідно. Як це зробити?

ПРОБЛЕМНА СИТУАЦІЯ 5

Екстернат. Сімейна форма навчання… Як батькам допомогти учневі засвоїти матеріал самостійно?

ПРОБЛЕМНА СИТУАЦІЯ 6

У закладі освіти є особливо обдаровані діти або такі, які просто відрізняються в розвитку серед інших учнів, їм буває нудно на уроках. А хотілося б заглибитися в детальне вивчення предметів, що цікавлять. Як це зробити?

Таких ситуацій, що призводять до істотних проблем соціального, а потім і державного масштабу, можна перерахувати багато. Наприклад робота з тими, хто відстає, або, навпаки, з обдарованими дітьми, додаткова освіта. Дистанційне навчання у закладі освіти дає можливість вивести на новий рівень допрофільну й профільну підготовку учнів, забезпечити гнучкість та багатоваріантність у навчанні, сприяє розкриттю учнівського потенціалу. Саме дистанційна форма навчання відкриває можливості для учнів, які пропускають уроки з поважних причин (через змагання, конкурси, хвороби, перебування за кордоном тощо), та особливо для тих, хто за станом здоров'я навчається індивідуально, якісно задовольнити власні потреби в здобутті освіти.

orig (1).jpg Зараз є багато посібників для самостійного вивчення навчальної теми, та дуже рідко зустрічаються методичні розробки, в яких узагальнено зміст навчального матеріалу. Тому, узагальнивши свій власний досвід, усвідомивши проблемні ситуації, які виникають у батьків учнів сімейної форми навчання, дана методична знахідка допоможе учням сімейної форми навчання швидко та легко засвоїти програмний матеріал навчальної теми.

Новизна власної методичної знахідки «Створення інформаційного математичного середовища для самостійного вивчення навчальної теми «Перпендикулярність прямих і площин у просторі» полягає в наступному:

запропоновані джерела інформації, за якими учень може самостійно вивчати тему;
визначені основні поняття, які зустрічаються в процесі вивчення теми та подано їх за виданням;
сформовані компетентності якими має оволодіти учень в результаті вивчення теми;
розроблені методичні рекомендації та поради для вивчення навчальної теми;
розроблено математичний словник до навчальної теми;
подані джерела додаткових навчальних матеріалів для вивчення навчальної теми;
подана інформацію про onlain-джерела самоперевірки знань, умінь та навичок за завданнями ЗНО по вивченій темі;
узагальнено перелік питань для поглибленого вивчення теми;
запропоновані джерела інформації методичного характеру для використання вчителями у висвітленні теми;
розроблені навчально-методичні картки уроків по темі…

Дистанційна освіта – це можливість навчатися та отримувати необхідні знання віддалено від навчального закладу. Вона використовує усі стандартні складові (методичні матеріали, цілі, зміст, організаційні форми, технологічні засоби та контроль), але у форматі інтерактивної віддаленої взаємодії, за допомогою Internet-технологій. Сучасні технології дають нам можливість вчити те, що нам цікаво, використовувати найновішу інформацію та дозволяють нам зробити своє життя кращим Дистанційні технології навчання можна розглядати як природний етап еволюції традиційної системи освіти від дошки з крейдою до електронної дошки й комп'ютерних навчальних систем, від книжкової, бібліотеки до електронної, від звичайної аудиторії до віртуальної.

Дистанційне навчання — форма освітнього процесу, що передбачає самостійне навчання учня як основний спосіб здобуття знань, а також і сукупність інформаційних технологій, що забезпечують учня доступом до основного обсягу навчального матеріалу, інтерактивну взаємодію учнів та вчителів у процесі навчання. Дистанційне навчання учнів стане ефективним за умови забезпечення відповідних організаційно-педагогічних умов, а саме: теоретичного обґрунтування і дотримання дидактичних принципів дистанційного навчання; спрямованості процесу навчання учнів на формування їхніх життєвих компетентностей; забезпечення можливостей для вдосконалення комунікативних умінь учнів; створення та практичного впровадження моделі педагогічної взаємодії учасників освітнього процесу шляхом інтеграції традиційної і дистанційної форм навчання. Зараз, у період воєнного стану, дистанційне навчання є особливо важливим при навчанні математики, яка не може існувати без пояснень і наочного супроводу. Зрозуміло, що головним елементом дистанційного навчання є комп’ютер та Інтернет, тому в роботі вчителя не можливо обійтись без використання ІКТ.

Отже, новизна моєї методичної знахідки полягає у висвітленні актуального питання сьогодення закладу освіти допомогти учням індивідуальної, дистанційної форм навчання легко засвоїти навчальний матеріал, створивши інформаційний простір для самостійного вивчення навчальної теми.

Метою моєї методичної знахідки є:

• створити математичне інформаційне середовище для самостійного вивчення навчальної теми під час сімейної чи дистанційної форм навчання;

• навести джерела інформації методичного характеру для вчителів математики у висвітленні даної теми;

• розробити й теоретично обґрунтувати модель інформаційних джерел навчальної теми;

• розробити методичні рекомендації щодо навчання школярів під час дистанційної чи сімейної форм навчання;

• створити ситуації цікавості, що впливають на інтерес до навчальної діяльності і формують ключові компетентності;

• узагальнити отримані результати.

Запропоновану методичну знахідку можна використовувати під час організації індивідуальної, сімейної форм навчання. Вона дозволяє легко засвоїти навчальний матеріал та здійснювати самоперевірку знань за рахунок поданого інформаційного математичного середовища. Запропонований матеріал відповідає тому способу сприйняття інформації, яким відрізняється нове покоління, яке виросло на ТБ, комп'ютерах і мобільних телефонах, у якого набагато вища потреба в темпераментної візуальної інформації і зорової стимуляції. Зміст інформаційного матеріалу та практична спрямованість методичної розробки важливі так, як інформаційний матеріал розрахований для учнів, які навчаються дистанційно, а також і для вчителів, які організовують освітній процес індивідуального чи сімейного навчання.

Освіта сьогодні – це один із найважливіших чинників розвитку цивілізації взагалі і людства зокрема. Освітяни реалізують державну політику стосовно навчання і виховання підростаючого покоління, забезпечують наступність і неперервність навчання, а також здійснюють функціонування інших ланок системи освіти. Серед усього різноманіття форм організації навчального процесу особливої уваги заслуговує індивідуальна форма навчання. Питання, пов‘язані з індивідуальною формою розглядаються в роботах В.О. Вихрущ, В.М. Галузинського, Ю.І. Мальованого, І.В. Зайченко, Н.Є. Мойсеюк, В.О. Крутецького. Актуальність досліджень стосовно використання індивідуальної форми навчання в системі загальної середньої освіти особливо зросла в умовах карантинних обмежень спричинених короновірусною інфекцією та військової агресії росії.

Індивідуальна форма навчання передбачає:

- переорієнтацію навчання з авторитарного на особистісно орієнтоване;

- зміщення акцентів з «формування особистості» на «вільний розвиток особистості»;

- забезпечення індивідуальної освітньої траєкторії для кожного учня.

На думку Ю.І. Мальованого, форма навчання визначає спосіб організації навчання на різних його етапах. Відносно індивідуальної форми навчання автор зазначає «…не вимагає наявності спільної мети діяльності; кожен її учасник працює незалежно від інших; відповідно до своїх навчальних можливостей у притаманному йому темпі. Результати його роботи не позначаються на результатах роботи інших». Доцільне використання індивідуальної форми навчання привчає учнів до самоосвіти та постійного самовдосконалення; сприяє формуванню у учнів умінь самостійно опрацьовувати навчальний матеріал, поглиблювати і розширювати набуті раніше знання, створює умови для реалізації учнів як індивідуальності (відповідно до своїх вроджених і набутих здібностей і задатків). В умовах такої організації навчання вчитель виступає в ролі консультанта, постановника проблеми.

На думку Є. Машбиця «індивідуалізоване навчання» це навчання, яке відбувається чітко за певною моделлю конкретного учня, при цьому параметри моделі вже введені до навчальної системи і використовуються нею, але у процесі навчання до моделі можуть бути внесені поправки, зміни й уточнення. Індивідуальне навчання найбільше пов‘язане з індивідуальною формою навчання. У Положенні про індивідуальну форму навчання в загальноосвітніх навчальних закладах так і зазначається: «Індивідуальне навчання в системі загальної середньої освіти є однією з форм організації навчально-виховного процесу і впроваджується для забезпечення права громадян на здобуття повної загальної середньої освіти з урахуванням індивідуальних здібностей та обдарувань, стану здоров'я, демографічної ситуації, організації їх навчання». Є.І. Машбиць розглядає індивідуальне навчання як навчання яке здійснюється в тандемі – вчитель – учень. М.І. Скрипник визначає індивідуальне навчання як форму, модель організації освітнього процесу, за якої: педагог взаємодіє лише з одним учнем. І.Е. Унт ототожнює поняття «індивідуальне навчання» з самостійною роботою в класі над одними і тими ж завданнями. На думку С.П. Бондар, Л.Л. Момот, Л.А. Липової, М.І. Головко поняття «індивідуальне навчання» можна сприймати як синонім «одинарного», самостійного навчання або наодинці з учителем. В.О. Житник розглядає форми організації індивідуальних занять, до яких відносить: репетиторство (інтенсивне засвоєння знань та вмінь, які необхідні для виконання учнем визначеної системи вимог); тьюторство (тьютор – науковий керівник учня); менторство (ментор – наставник або радник учня, вносить у зміст предмета, що вивчається, індивідуальні ознаки, чого не можна досягти при традиційній шкільній системі навчання); гувернерство; сімейне навчання; самоосвіта і контракт (угода між учнем і педагогом, яка передбачає основні напрямки самостійної роботи учня, яка дає можливість учням індивідуально планувати свою навчальну діяльність та оволодівати програмовим матеріалом відносно до власних здібностей та інтересів).

Аналіз педагогічної та психологічної літератури свідчить, що проблемі індивідуалізації навчання завжди приділялась належна увага, а в сьогоденні - першочергова вимога, яка є основою дистанційної чи сімейної форм навчання.

ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК КОМПОНЕНТІВ

ІНДИВІДУАЛЬНОГО НАВЧАННЯ

$C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (2).png$ Існує багато варіантів технічних засобів для організації інформаційно-освітнього середовища для індивідуальної форми чи дистанційного навчання, мною вибрані засоби, які є доступними, вільними та надійними. Зазначені елементи ІОС для успішного самостійного вивчення навчальної теми «Перпендикулярність прямих і площин у просторі» показали свою ефективність під час дистанційного навчання. Цілодобовий доступ до інформаційних ресурсів, онлайн-тестування…все це сприяло підвищенню рівня знань, умінь та навичок учнів.

За Програмою для загальноосвітніх навчальних закладів, яка затверджена наказом Міністерства освіти і науки України № 408 від 20.04.2018 року «Про затвердження типової освітньої програми закладів загальної середньої освіти ІІІ ступеня, 10 класи».

Джерело: https://mon.gov.ua/ua/osvita/zagalna-serednya-osvita/navchalni-programi/navchalni-programi-dlya-10-11-klasiv

Мета: усвідомити суть понять перпендикулярні прямі, перпендикулярні площини, пряма, перпендикулярна до площини, перпендикуляр до площини, похила та проекція похилої на площину; усвідомити і запам’ятати ознаку перпендикулярності прямих, теорему про два перпендикуляри, теорему про три перпендикуляри, ознаку та властивість перпендикулярних площин; сформувати вміння й навички застосовувати набуті знання до розв’язування задач.

У результаті вивчення теми учень має оволодіти такою системою знань і заснованих на них умінь і навичок, щоб він міг:

розв’язувати задачі різного рівня складності;
обирати найоптимальнішу теорему для розв’язування тієї чи іншої задачі;
мати достатню математичну підготовку для вивчення інших предметів природничого циклу.

Навчальний матеріал буде сприяти:

розвитку логічного мислення;
вихованню діалектико-матеріалістичного світогляду;
розвитку загальних і спеціальних прийомів розумових дій.

Логічний ланцюжок вивчення теми

Частина 1.

У частині 1 (таблиця 1.1) наведено джерела інформації, за якими учень може самостійно вивчати тему. Для їх вивчення використано перелік підручників, навчальних посібників, які рекомендовані Міністерством освіти і науки України на 2018/2019 навчальний рік. Крім цього до частини включено джерела, рекомендовані для розширення та поглиблення знань з відповідної теми.

Перелік джерел навчальної інформації в пошуковій системі

Таблиця 1.1

№ з/п		Вид / онлайн		Назва	Автори		Видавництво, джерело пошуку	Рік ви-дання
*Основні підручники та навчальні посібники, рекомендовані* *Міністерством освіти і науки України*
1		Підручник / https://pidruchnyk.com.ua/402-matematika-burda-kolesnik-malovaniy-tarasenkova-10-klas.html		Математика, 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту)		Бурда М.І., Колесник Т.В, Тарасенкова Н.А	К., Оріон $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (3).png$	2018
2		Підручник / https://pidruchnyk.com.ua/1153-matematyka-10-klas-merzlyak.html		Математика (алгебра і початки аналізу та геометрія), 10 клас		Мерзляк А.Г., Номіровський Д.А., Полонський В.Б.	Х., Гімназія $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (5).png$	2018
	3		Підручник/ https://pidruchnyk.com.ua/427-algebra-neln-10-klas.html	Математика, 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту)		Нелін Є.П.	Х., Ранок $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (6).png$	2018
	4		Підручник / https://pidruchnyk.com.ua/1154-matematyka-10-klas-ister.html	Математика, 10 клас (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту)		Істер О.С.	К,. Генеза $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (7).png$	2018
	5		Підручник/ https://pidruchnyk.com.ua/1178-geometriya-10-klas-ister.html	Геометрія, 10 клас (Профільний рівень)		Істер О.С., Єргіна О.В.	К., Генеза $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (8).png$	2018
	6		Підручник/ https://pidruchnyk.com.ua/1140-geometriya-10-klas-merzlyak-prof.html	Геометрія, 10 клас (Профільний рівень)		Мерзляк А.Г., Номіров-ський Д.А., Полонський В.Б.	Х., Гімназія $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (9).png$	2018
	7		Збірник/ http://calameo.download/0036456541587417cdeaf	Математика. 10 клас. Збірник самостійних та контрольних робіт.		Мерзляк А.Г	Гімназія $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (10).png$	2010

2. Додаткові джерела інформації в пошуковій системі

Google

https://miyklas.com.ua/p/geometria/10/perpendikuliarnist-priamikh-i-ploshchin-15481/perpendikuliarnist-priamoyi-ta-ploshchini-15482/re-ee2a7279-897a-496a-828f-f7680c9e475e

$C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (11).png$

http://zno.academia.in.ua/mod/book/tool/print/index.php?id=3208

$C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (12).png$

Поради, щодо опрацювання деяких джерел з таблиці 1.1:

Для початкового ознайомлення з теоретичним матеріалом скористайся підручниками, зазначеними в пункті 1.
Для узагальнення та перевірки знань із теми перегляньте збірники задач, зазначені в пункті 2.

Частина 2

Методичні рекомендації для вивчення теми

Загальна характеристика теми

Під час вивчення теми відбувається узагальнення та систематизація знань учнів з планіметрії – розділу, що вивчає взаємне розташування прямих і площин в просторі (розглядається перпендикулярність прямих та площини, двох площин тощо).

Окрім того, потрібно вивчити теореми про взаємозв’язок паралельності та перпендикулярності прямих та площин у просторі, а також опанувати знаннями про перпендикуляр та похилі тощо.

Тема є практичною (під час вивчення істотно підвищується роль задач на обчислення) та пропедевтичною (для опанування понять кутів у просторі та багатогранників), а також відіграє помітну роль у формуванні просторових уявлень учнів і розвитку конструктивності їхнього мислення.

У таблиці 2.1 подано витяг з навчальної програми щодо змісту

навчального матеріалу з теми та вимог до навчальних досягнень учнів із

їх засвоєння.

Таблиця 2.1

Зміст навчального матеріалу

Навчальні досягнення учнів

Тема

«Перпендикулярність прямих і площин у просторі»

Перпендикулярність прямих у просторі. Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри. Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин. Залежність між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин.

Кути у просторі: між прямими , між прямою і площиною, між площинами.

Відстані у просторі: від точки до прямої, від точки до площини, від прямої до паралельної їй площини (від точки до фігури), між паралельними площинами, між мимобіжними площинами, (між двома фігурами). Ортогональне проектування. (Площа ортогональної проекції многокутника). Практичне застосування властивостей паралельності та перпендикулярності прямих і площин.

Учень (учениця):

формулює означення перпендикулярних прямих у просторі, прямої, перпендикулярної до площини, перпендикулярних площин; властивості та ознаки перпендикулярних прямих і площин;
обгрунтовує взаємозв язок паралельності й перпендикулярності прямих і площин у просторі;

встановлює взаємне розміщення прямих і площин у просторі;
застосовує вивчені властивості та ознаки до розв язування задач;
обчислює відстані й кути в просторі;
застосовує відношення між прямими і площинами у просторі, вимірювання відстаней і кутів у просторі для опису об єктів оточуючого світу.

Методичні поради щодо вивчення теми

Зверніть особливу увагу на ознаки перпендикулярності прямої та площини, теорему про три перпендикуляри та ознаку перпендикулярності площин. Доведення ознаки перпендикулярності прямої та площини спирається на логічні й геометричні зв язки та відношення між планіметричними фігурами, розташованими у тривимірному просторі.

Не забувайте , що під час вивчення теореми про три перпендикуляри необхідно довести і першу, і другу частини теореми, а також розібрати її на малюнках, якщо в основі лежить прямокутний, рівнобедрений та довільний трикутники.

Зверніть увагу на використання теореми Піфагора і насідків з неї в ході розв язування задач на похилу.

Словник до теми

Визначення основних понять, які зустрічаються в процесі вивчення теми, подано за виданням:

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить у площині і проходить через точку перетину.

Теорема (ознака перпендикулярності прямої і площини).

Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини.

Перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної площини, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.

Теорема (властивості перпендикуляра і похилої).

Якщо з точки, взятої поза площиною, проведені до площини перпендикуляр і похилі, то:

перпендикуляр коротший за будь-яку похилу;
проекції рівних похилих рівні і, навпаки, похилі, що мають рівні проекції, рівні;
з двох похилих більша та, проекція якої більша.

Теорема (про три перпендикуляри).

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до самої похилої.

Теорема (обернена до теореми про три перпендикуляри).

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Теорема (про паралельні прямі та перпендикулярну площину).

Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.

Теорема (про паралельні площини та перпендикулярну пряму).

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої.

Кутом між площинами , які перетинаються, називається кут між прямими, проведеними в цих площинах зі спільної точки перпендикулярно до лінії їх перетину.

Інформація для запам`ятовування

Новый рисунок (14) Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом іншим перпендикулярним прямим, то інші прямі теж перпендикулярні.

Новый рисунок (14) Через будь-яку точку прямої в просторі можна провести безліч перпендикулярних до неї прямих. (Усі прямі лежать у площині, яка перпендикулярна до даної прямої та перетинає її у даній точці.)

Новый рисунок (14) Через будь-яку точку в просторі, що не належить даній прямій, можна провести пряму, перпендикулярну до даної, і тільки одну. Це буде та перпендикулярна до даної прямої пряма, яка лежить у площині, визначеній даними прямою й точкою.

Зверніть увагу, що в просторі дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, необов язково паралельні між собою.

Новый рисунок (14) Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.

Через дану точку площини можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї пряму.

Через дану точку прямої можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї площину.

Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести одну, й тільки одну, площину, перпендикулярну до даної прямої.

Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.

Дві прямі, перпендикулярні до однієї й тієї ж площини, паралельні.

Частина 3

Додаткові навчальні матеріали

Для вивчення теми рекомендовано використати додаткові навчальні матеріали. Їх подано, як додатки, перелічено в таблиці 3.1

№	Web - ресурс	Назва теми
1	https://naurok.com.ua/prezentaciya-perpendikulyarnist-pryamih-u-prostori-210257.html $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (13).png$	Перпендикулярність прямих у просторі - презентація
	https://www.youtube.com/watch?v=o_wKc0UXXVA $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (15).png$	Перпендикулярність прямих у просторі - відеопояснення
2	https://www.youtube.com/watch?v=McS06wZ6j9k $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (16).png$	Перпендикулярність прямої і площини - відеопояснення
	https://naurok.com.ua/prezentaciya-do-uroku-perpendikulyarnist-pryamo-i-ploschini-62183.html $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (17).png$	Перпендикулярність прямої і площини - презентація
3	https://naurok.com.ua/prezentaciya-do-uroku-za-temoyu-oznaka-perpendikulyarnosti-pryamo-i-ploschini-dlya-uchniv-10-klasu-35380.html $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (18).png$	Ознака перпендикулярності прямої і площини - презентація
4	https://naurok.com.ua/prezentaciya-perpendikulyar-i-pohila-329028.html $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (22).png$	Перпендикуляр і похила - презентація
5	https://www.youtube.com/watch?v=E7O_VVaI7NM $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (23).png$	Теорема про три перпендикуляри - відеопояснення
6	https://www.youtube.com/watch?v=mx_Xou-V1gI $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (24).png$	Перпендикулярність площин – відеопояснення
7	https://www.youtube.com/watch?v=mx_Xou-V1gI $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (25).png$	Ознаки перпендикулярності площин – презентація
8	https://www.youtube.com/watch?v=DxlZf1gyhh0 $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (26).png$	Залежність між паралельністю та перпендикулярністю прямих і площин - відеопояснення
9	https://naurok.com.ua/prezentaciya-kuti-mizh-pryamimi-v-prostori-221557.html $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (27).png$	Кути у просторі: між прямими , між прямою і площиною, між площинами – презентація
10	https://www.youtube.com/watch?v=ZaynWdHbiK0 $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (28).png$	Відстані у просторі - відеопояснення
11	https://www.youtube.com/watch?v=K5MjLE-3GQY $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (29).png$	Ортогональне проектування – відео пояснення
12	https://www.youtube.com/watch?v=WV30zkhnWr8 $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (30).png$	Площа ортогональної проекції многокутника (задачі) – відеопояснення

Частина 4 Джерела для самоперевірки знань

№	Web - ресурс	Назва теми
1	https://matematikatests.in.ua/pidsumkovyj-test-perpendykulyarnist-pryamyh-i-ploshhyn-u-prostori-rozdil-2-geometriya-10-klas/ $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (31).png$	Перпендикулярність прямих і площин у просторі
2	https://naurok.com.ua/test/perpendikulyarnist-pryamih-u-prostori-17789.html $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (32).png$	Перпендикулярність прямих у просторі
3	https://naurok.com.ua/test/perpendikulyarnist-pryamo-i-ploschini-736817.html $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (33).png$	Ознака перпендикулярності прямої і площини
4	https://naurok.com.ua/test/perpendikulyar-i-pohila-23203.html $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (34).png$	Перпендикуляр і похила
5	https://onlinetestpad.com/ru/test/795527-teorema-o-trekh-perpendikulyarakh $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (35).png$	Теорема про три перпендикуляри
6	https://onlinetestpad.com/ua/test/25843-kut-m%D1%96zh-pryamimi-m%D1%96zh-pryamoyu-%D1%96-ploshhinoyu-m%D1%96zh-ploshhinami-ortogonalna $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (36).png$	Кут між прямою і площиною
7	https://naurok.com.ua/test/ortogonalne-proektuvannya-790971.html $C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (37).png$	Ортогональне проектування

Задачі ЗНО минулих років по темі «Перпендикулярність прямих і площин у просторі»

$C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (20).png$

https://zno.osvita.ua/mathematics/tag-pryami_ta_ploshini_u_prostori/

$C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (19).png$

https://naurok.com.ua/urok-z-temi-pidgotovka-do-zno-perpendikulyarnist-pryamih-i-ploschin-243935.html

$C:\Users\Василь\Downloads\websiteplanet-qr (21).png$

http://zno.academia.in.ua/mod/book/view.php?id=3007&chapterid=658

Частина 5

Тематика творчих робіт

Для поглибленого вивчення теми пропонується підготувати такі реферати (додаток):

Паралельність та перпендикулярність прямих і площин у нашому житті.
Застосування перпендикулярних прямих та площин у ювелірному виробництві та медицині (оброблення ювелірних виробів, напівдорогоцінних та дорогоцінних каменів).
Застосування перпендикулярності прямих та площин у техніці.
Застосування перпендикулярності прямих та площин у деревообробній та металургійній промисловості.

Частина 6

Джерела методичної інформації

У таблиці 6.1 наведено джерела інформації методичного характеру, визначені та рекомендовані для використання вчителем у висвітленні теми.

(Таблиця 6.1)

№з/п	Вид	Назва		Автори		Видав-ництво		Рік видан-ня

*1. Джерела інформації, рекомендовані автором*
1	Посібник		Майстер-клас. Геометрія. 10 клас (академічний рівень)		Корнієнко Т.А., Фіготіна В.І.		Ранок	2010
2	Посібник		Тести зі стереометрії онлайн		Бродський Я.С.		ТМ «Розум-ники»	2017
3	Комплект		Математика. Довідник +Тести, підготовка доДПА, ЗНО		Істер О.С.		К,. Генеза	2018

Частина 7

Додаткові методичні матеріали У таблиці 7.1 запропоновано додаткові методичні матеріали, які можуть бути використані у навчальній роботі. Їх розміщено у формі додатків до частини 7.

Номер додатку	Назва додатку
Додаток 7.1	Методичні картки уроків

Висновки

Сучасні умови трансформації процесу навчання, орієнтованого на індивідуальну форму навчання чи дистанційну освіту, ставить перед закладами освіти нові виклики. Якщо раніше інформаційно-освітнє середовище створювалося для підвищення ефективності класичного навчального процесу засобами впровадження змішаного навчання, то в реаліях сьогодення метою інформаційно-освітнього середовища є забезпечення якісного навчально-виховного процесу в умовах дистанційної освіти, що пов’язано з реаліями сьогодення. Здебільшого заклади освіти під час організації індивідуальної форми навчання чи дистанційного навчання стикаються з проблемами. Більшість проблем ґрунтується на недосконало розробленому інформаційно-освітньому середовищі або його відсутності. Організація якісного індивідуального навчання – складний і багатофакторний процес, який допоможе учням та батькам самостійно засвоїти навчальний матеріал. Кропітка систематична робота щодо впровадження технологій дистанційного навчання в освітній процес допоможе згодом досягти позитивних результатів під час сімейної форми навчання.

Бібліографія

Закон України «Про освіту», 2018р.
Антонов Г. Дистанційне навчання: мода чи потреба? // Освіта України. – 4 квітня (№25). – с. 10
Биков В. Ю., Кухаренко В. М., Сиротинко Н. Г., Рибалко О. В. Технологія розробки дистанційного курсу: Навчальний посібник / За ред. В. Ю. Бикова та В. М. Кухаренка. – К.: Міленіум, 2008. – 324 с.
Варзар Т. Дстанційна освіта в сучасній освітній діяльності //Українознавство. – 2005. –№ 1. – С. 116–119.
Дистанційне навчання: Тренінг з організації дистанц. навчання на платформі WebСТ. – Режим доступу: httр://www. users. kharkіv. com. - Заголовок з екрана.
Сисоєва С. О. Методологічні проблеми дистанційного навчання // Вісн. Акад. дистанц. освіти. – 2004. –№ 2. – С. 21– 28.
Система дистанційної освіти та перевірки знань: Сервер інформ. технологій каф. Фундамент. дисциплін АПБУ. – Режим доступу: httр://www. fdapbu. narod. rи. – Заголовок з екрана.
Створення дидактичних матеріалів з дистанційної форми навчання: Інформ. - метод. зб. / П. М. Таланчук, А. Г. Шевцов, В. Т. Бажан, В. М. Генба. – К.: Ун-т "Україна", 2001. – 48 с.
Шукевич Б. Шляхи поповнення терміносистеми з дистанційного навчання// Українська термінологія і сучасність: Зб. наук. праць. Вип VІ / Відп. ред. Л. О. Симоненко. – Київ.: КНЕУ, 2005. – С. 437 – 440.

Додатки

(Додаток 2.1).

Теорема (ознака перпендикулярності прямої і площини).

Теорема (властивості перпендикуляра і похилої).

Якщо з точки, взятої поза площиною, проведені до площини перпендикуляр і похилі, то:

перпендикуляр коротший за будь-яку похилу;
проекції рівних похилих рівні і, навпаки, похилі, що мають рівні проекції, рівні;
з двох похилих більша та, проекція якої більша.

Теорема (про три перпендикуляри).

Теорема (обернена до теореми про три перпендикуляри). Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Теорема (про паралельні прямі та перпендикулярну площину).

Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.

Теорема (про паралельні площини та перпендикулярну пряму).

Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої.

Дві площини називаються перпендикулярними , якщо кут між ними дорівнює 90^о.

Теорема (ознака перпендикулярності площин).

Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні.

Теорема (властивість перпендикулярних площин).

Якщо дві площини перпендикулярні, то будь-яка пряма, що лежить в одній з них і перпендикулярна до прямої їх перетину, перпендикулярна до другої площини.

Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.

Якщо пряма l перпендикулярна до площини a , то таке проектування називають ортогональним або прямокутним.

Теорема (про площу ортогональної проекції многокутника).

Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.

ТОП-10 найкращих сервісів для навчання онлайн. - Центр політичної освіти

ДОСЛІДЖЕННЯ І СПОСТЕРЕЖЕННЯ «ПАРАЛЕЛЬНІ І ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ В НАШОМУ ЖИТТІ»

В повсякденному житті мало хто звертає увагу на оточуюче нас середовище. Що воно собою являє? Варто озирнутися и ми побачимо, що багато предметів мають форму, схожу на вже знайомі нам геометричні фігури. Все в нашому житті підпорядковано законам геометрії.

Одним із важливих понять є паралельні і перпендикулярні прямі. Відомо, що дві прямі, які не перетинаються називаються паралельними.

Дві паралельні прямі, які ніколи

Картинки по запросу картинки паралельні прямі не перетинаються, але завжди поруч,

пронизують невідоме майбутнє.

Прийдешні хвилини, години, дні,

тижні, місяці, роки.

Синхронно, жодна з прямих

не випереджає іншу

і жодна не відстає від іншої

навіть на пів кроку.

Завжди поряд ніколи разом.

В геометрії, вивчаючи тему «Чотирикутники» присутнє поняття паралельності прямих.

Похожее изображение Картинки по запросу картинки прямокутник Картинки по запросу картинки трапеции

Трамваї, потяги рухаються по паралельним коліям, тролейбуси – по паралельним електролініям.

Картинки по запросу картинки трамвай Картинки по запросу картинки поезд

Навіть, в спорті неможна обійтись без паралельності: доріжки в басейні і на стадіоні – паралельні, гімнастичні бруси, лижники на лижні.

Картинки по запросу картинки басейн

Паралельні прямі: в музиці – нотний стан; на вулиці – «зебра», розподільні смуги руху автотранспорту.

Похожее изображение

В садах дерева висаджують в паралельні ряди. Все це для зручності поливу та збирання врожаю.

В класній кімнаті можна знайти багато геометричних об’єктів, які поєднують одночасно паралельні і перпендикулярні прямі. А ті прямі, які при перетині утворюють прямі кути називаються перпендикулярними.

Картинки по запросу картинки перпендикулярних прямих

В будь-якому приміщенні стіни, стеля, підлога, двері, вікна є прямокутники, в прямокутнику всі кути прямі, а сторони попарно паралельні.

Поряд з паралельними прямими «крокують» перпендикулярні прямі. Де ми їх бачимо? Стовби ліній електропередач, телевізійні вежі, різні архітектурні споруди стоять на землі, завдяки перпендикулярності відносно земної поверхні.

Картинки по запросу картинки багатоповерхових будинків

Картинки по запросу картинки столбів електропередач

Одразу на думку спадає, чому людина впевнено стоїть на землі ї не падає? Відповідь одна. Вісь симетрії постаті людини перпендикулярна до площини земної поверхні.

Паралельність і перпендикулярність прямих упорядковує наше життя і воно стає зрозумілішим.

(Додаток до частини 7)

Навчально-методична картка

УРОК 1

Тема. Перпендикулярність прямих у просторі. Ознака перпендикулярності прямої і площини.

Мета: формувати в учнів уміння і навички доведення теорем про перпендикулярність прямих, прямої і площини; сприяти розвитку просторової уяви, продовжувати розвивати навички самостійної роботи; виховувати культуру математичного мовлення.

Обладнання. Саморобні моделі, переносна дошка, стереометричний ящик.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

II. Повідомлення теми, мети уроку.

ПІ. Вивчення нового матеріалу.

Запитання до класу

Які дві прямі називаються перпендикулярними?
Що можна сказати про взаємне розміщення прямих а і b, якщо а₁ || а, b₁ b, а₁ b₁?
Скільки площин можна провести через дві перпендикулярні прямі?

План доведення теореми

Ознайомитись з формулюванням теореми (підручник), побудувати в зошиті малюнок до теореми і записати умову і висновок.
Довести що а₁ b₁.

1-й випадок

Якщо прямі а, b, а₁, b₁ лежать в одній площині, доведення виконується усно за малюнком на кодоплівці.

Дано: а b, а || а₁, b || b₁.

Довести: а₁ b₁.

Доведення

Чотирикутник — паралелограм, у якого один кут прямий, тому протилежний йому кут теж прямий.

Тоді а₁ b₁.

2-й випадок

Прямі а, b, а₁, b₁ не лежать в одній площині. Тоді прямі а і b лежать у деякій площині α, а прямі а₁ і b₁ — у площині α₁.

Учні самостійно доводять теорему, відповідаючи на запитання.

Чому а || α₁, b || α₁ і α || α₁ ?
Що означає: прямі а і а₁ паралельні, прямі b
і b₁ паралельні?
Як довести, що чотирикутники СС₁А₁A,
ВСС₁В₁ і АА₁В₁В — паралелограми?
Рівність яких фігур слід довести, щоб вивести, що а₁ b₁ ?

Потім за моделлю один-два учні усно повторюють доведення теореми.

Запитання до класу

Чи правильні твердження:
- якщо пряма а b, b α, то а α;
- якщо пряма а перпендикулярна до b і с, які належать одній площині, і три прямі перетинаються в одній точці, то a α?
Як розміщені прямі а₁ і b₁, якщо a₁ || а , b₁ || b, bа (а і b перетинаються)?
Як розміщені прямі а₁, а₂ і площина α, якщо а₁ || а₂, а₁ α?
Який трикутник називається рівнобедреним?
Що називається медіаною трикутника?
Яка властивість медіани, проведеної до основи рівнобедреного трикутника?

План доведення теореми .

Дати означення перпендикулярності прямої і площини.
Ознайомитись з теоремою, записати в зошит умову теореми і висновок.
Довести рівність: ∆А₁ВС = ∆А₂ВС.
Довести, що ∆А₁ХА₂ — рівнобедрений.
Назвати властивість прямої АХ у ∆А₁ХА₂.

За малюнком на дошці або за моделлю один-два учні повторюють доведення теореми.

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання

Навчально-методична картка

УРОК 2

Тема. Перпендикулярність прямих у просторі. Розв’язування вправ.

Мета: формувати в учнів уміння й навички застосовувати вивчені теореми під час розв'язування задач; розвивати просторову уяву, логічне мислення, виховувати інтерес до математики.

Обладнання. Стереометричний ящик, картки.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань.

Перевірка домашнього завдання .

Робота двох сильних учнів біля дошки за картками.

Картка № 1. Дано прямокутну трапецію АВСD: АВ АВ і АВ ВС. Через вершину В проведено пряму ВЕ, яка не лежить у площині трапеції і перпендикулярна до ВС. Довести, що ВС перпендикулярна до площини АВЕ.

Картка № 2. Дано рівнобедрений ∆АВС (АВ = ВС), М — середина сторони АС. Через точку D, що не лежить у площині ∆АВС, і точку М проведено пряму МD МВ. Довести, що ВМ перпендикулярна до площини АВС.

Запитання до учнів

Які дві прямі називаються перпендикулярними?
Сформулювати теорему про перпендикулярність прямих у просторі.
Яка пряма називається перпендикулярною до площини?
Сформулювати теорему про перпендикулярність прямої і площини.
Довести теореми 3.1 і 3.2.

(Учні доводять теореми на аркушах).

III. Розв'язування задач.

Задача

Дано: ∆АВС, С = 90°, АD (АВС), АС = а, ВС = b, АВ = с.

Знайти: ВD, ВС.

Розв'язання

З ∆ АВС (С = 90°) знайдемо АВ:, .

DА пл. ∆ АВС, тому DА АВ і DА АС.

З ∆DBA (DAB = 90°) знайдемо ВD: , .

З ∆ DСА (ВАС = 90°) знайдемо DС: , .

Відповідь. , .

Задача. Промені ОА, ОВ, ОС попарно перпендикулярні. Знайти периметр ∆АВС, якщо ОА = ОВ = 3 дм, ОС = 4 дм.

Дано: OA ОС, ОA OB, ОС OB.

OA = ОВ = 3 дм, ОС = 4 дм.

Знайти: .

Розв'язання

З ∆АВО (АОВ = 90°) знайдемо АВ: , (дм).

З ∆AСО (АОС = 90°) знайдемо АС: , (дм).

∆AОС = ∆BОС (прямокутні, АО = ОВ, ОС — спільна), тому ВС = АС,

ВС = 5 дм. Тоді Р= 2АС + АВ = 10 + 3(дм).

Відповідь. 10 + дм.

Задача. Відрізки АВ, АС, АD попарно перпендикулярні. АВ = а, ВС = b, ВD = с, (с > а, b > а). Знайти довжину відрізка СD.

Дано: АВ АС, АВ АD, АС AD, АВ = а, ВС = b, АD = с.

Знайти: СD.

Розв'язання

З ∆ АВС (САВ = 90°) знайдемо АС:

З ∆ ВDА (BAD = 90°) знайдемо AD:

З ∆ СDA ( САD = 90°) знайдемо СD:

Задача. Пряма ВD утворює прямі кути зі сторонами АВ і ВС рівностороннього трикутника АВС, у якому ВМ — висота. Знайти DМ, якщо АС = 2 дм, ВD = 1 дм.

Дано: ∆ АВС - рівносторонній,

DВА = DВС = 90°, ВМ AС.

АС = 2 дм, BD = 1 дм.

Знайти: DМ.

Розв'язання

Якщо BD AB, ВD BС (за умовою), то ВD ВМ і DВМ = 90°.

AB = BС = AС = 2 дм (за умовою).

З ∆ АВС знайдемо висоту ВМ за формулою: ВМ = ВС ∙ = (дм).

З ∆ DВМ (DВM = 90°) знайдемо DМ:

(дм).

Відповідь. DM = 2 дм.

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання.

Навчально-методична картка

УРОК 3

Тема. Побудова перпендикулярних прямої і площини.

Мета: формувати в учнів уміння будувати перпендикулярні пряму і площину в просторі; розвивати просторову уяву; прищеплювати інтерес до предмета.

Обладнання. Картки.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань.

Перевірка домашнього завдання .

Робота двох учнів біля дошки за картками.

Картка № 1. А, В, С — точки на попарно перпендикулярних променях ОА, ОВ, ОС. Знайти кути трикутника АВС, якщо ОА = ОВ = ОС.

Картка № 2. Точки К i М — середини ребер АВ і СD правильного тетраедра АВСD. Довести, що КМ АВ і КМ СD Знайти КМ, якщо АВ = а.

За моделями повторити доведення теорем 3.1 і 3.2.
Розв'язування задачі з коментуванням.

Задача

Дано: ∆АВС (С = 90°), АD (АВС),

АС = а, ВС = b, АD = с.

Знайти: ВD, СD.

Розв'язання

Якщо АD (АВС), то АD АС і АD АВ (за ознакою перпендикулярності прямої і площини).

З ∆ DСА (DAС = 90°) знайдемо СD:

З ∆АВС (С = 90°): .

З ∆ DВА (DАВ = 90°) знайдемо ВD: .

Відповідь. , .

III. Вивчення нового матеріалу.

Колективне розв'язування задачі .

Дано: Пряма а, А а .

Побудувати: α а .

Розв'язання

Проведемо через пряму а і точку А дві площини: α і β. У площині α проведемо с а, у площині β b а. Через прямі b і с проведемо площину α₁, α₁ а.

Доведемо, що площина α₁ — єдина.

Припустимо, що існує α' і α' а. Проведемо через пряму а і точку В площину, яка перетинає α₁ і α' по прямих b і b'.

b' а , b а, що неможливо. Отже, площина α₁ — єдина.

Закріплення матеріалу.

Учні за підручником розв'язують задачу №369 § 9.

Після цього один учень за готовим малюнком на дошці записує її розв'язання.

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання.

Навчально-методична картка

УРОК 4

Тема. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою.

Мета: довести теореми та застосовувати їх до розв'язування задач, розвивати вміння учнів аналізувати, робити висновки, виховувати ціннісне ставлення особистості до праці

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань.

Перевірка домашнього завдання.
Відповіді на запитання.

Які прямі називаються перпендикулярними?
Сформулювати ознаку перпендикулярності прямої і площини.
Усно за готовим малюнком розв'язати задачу.

III. Вивчення нового матеріалу.

Дано: a₁ || a₂, α || а₁.

Довести: α a₂.

Доведення

Прямі a₁ і а₂ перетинають площину α: а₂α = А₂, а₁α = А₁.

Проведемо через точку А₂ довільну пряму х₂, а через точку A₁ пряму х₁ || х₂.

Пряма a₁ α, тому a₁ x₁; a₁ || а₂, х₁ || х₂, тому а₂ х₂, що означає а₂ α.

Теорему 3.4 учні опрацьовують самостійно. Після цього 1—2 учні біля дошки за готовим малюнком відтворюють її доведення.

IV. Розв'язування задач.

Задача 1

Дано: АСα, ВDα, АС = 3м, ВD = 2 м,

СD = 2,4 м.

Знайти: АВ.

Розв'язання

Якщо АС α, ВD α, то АС || ВD . Через точку В проведемо відрізок ВК || СD, тоді ВК = СD = 2,4 м, СК = ВD = 2 м.

∆ ABK - прямокутний ( AKB = 90°).

AK = AС – СК, АК = 1 м. , (м).

Відповідь. 2,6 м.

Задача 2

Дано: ∆ DВС — рівносторонній, СD = а,

АВ = АС = АD = а.

Знайти: АО.

Розв'язання

Якщо точка А рівновіддалена від вершин трикутника, то пряма ОА (ВСD) і перетинає її в точці О, яка є центром описаного навколо ∆ СВD кола. ОВ — радіус кола. Знайдемо ОВ за формулою:

, .

З ∆ АВО ( АОВ = 90°) знайдемо АО. , .

Відповідь. .

Задача 3

Дано: МNРК – квадрат, NM = b,

АК = АМ =AN = AP = a.

Знайти: АО.

Розв'язання

Якщо точка А рівновіддалена від вершин квадрата, то АО (КМN) і перетинає її в точці О, що є точкою перетину діагоналей і центром кола, описаного навколо квадрата.

З ∆ KNP ( КРN = 90°) знайдемо KN: КN = .

ON = КN, ON = .

З ∆ AON (AON = 90°) знайдемо ОА:

, .

Відповідь. .

V. Підсумок уроку.

VI. Домашнє завдання.

Навчально-методична картка

УРОК 5

Тема. Властивості перпендикулярних прямої і площини. Розв'язування задач.

Мета: формувати навички застосування вивчених теорем, розвивати навички самостійної розумової діяльності, виховувати культури математичного мислення.

Обладнання. Стереометричний ящик, картки.

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань.

Сформулювати і довести теорему про властивість площини, перпендикулярної до однієї з двох паралельних прямих.
Довести теорему про властивість двох прямих, перпендикулярних до однієї площини.
Робота трьох учнів за картками (за партами).

Картка № 1. Точка М однаково віддалена від усіх вершин правильного трикутника АВС зі стороною 8 см і віддалена від його площини на 6 см. Знайти відстань від точки M до вершин трикутника.

Картка № 2. Точка рівновіддалена від усіх вершин прямокутника і знаходиться на відстані 8 см від його площини. Знайти відстань від цієї точки до вершин прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює 8 см, а діагональ утворює з більшою стороною кут 30°.

Картка № 3. Точка М віддалена від кожної вершини трикутника АВС на 10 м. У ∆ АВС: АВ = АС = 12 м, висота АЕ = 9 м. Знайти відстань від точки М до площини трикутника АВС.

III. Розв'язування задач.

Задача (колективне розв'язування біля дошки з коментуванням). У ∆ АВС кут А дорівнює 45°, ВС = 12 см. Точка М, віддалена від площини трикутника на 6 см, знаходиться на однаковій відстані від усіх вершин трикутника. Знайти довжини МА, МВ і МС.

Дано: ∆АВС, А = 45°, ВС = 12 см,

МО АВС, МО = 6 см, МА = МВ = МС.

Знайти: МА, МВ, МС.

Розв'язання

Якщо МА = МВ = МС, то О — центр кола, описаного навколо ∆АВС, ОВ — радіус описаного кола.

, (см).

R = 6 см.

Якщо МО (АВС), то MO ОВ.

З ∆ МОВ ( МОВ = 90°) знайдемо МВ: ,

Відповідь. МА = МВ = МС = см.

Задача

Дано: АВСD — квадрат, ВМ (АВС).

Довести: АО (АВМ); СD (ВСМ).

Доведення

1) ВС ВМ і ВС ВА.

Отже, ВС (АВМ) .

АD || ВС, тому за теоремою 3.3 АD (АВМ).

2) АВ ВМ і АВ ВС.

Отже, АВ (ВСМ).

СD || АВ, тому СD (BСM).

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання.

Навчально-методична картка

УРОК 6

Тема. Перпендикуляр і похила. Кут між прямою і площиною.

Мета: формувати знання учнів про перпендикуляр і похилу, кут між похилою та площиною; показати взаємозв'язок між планіметрією та стереометрією. Виховувати моральні якості.

Обладнання. Таблиця, екліметр, кодоскоп, відкидна дошка з планом уроку.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань.

Фронтальне опитування

Що називається перпендикуляром до даної прямої?
Як називається точка перетину перпендикуляра і прямої?
Які прилади використовуються для побудови перпендикуляра?
Скільки перпендикулярів можна провести з даної точки до даної прямої?
Як називаються відрізки, відмінні від перпендикуляра АС, на малюнку?
3 якої теореми випливають властивості похилої?

III. Вивчення нового матеріалу.

Робота з підручником.

План

Що називається перпендикуляром до площини?
Що називається похилою до площини?
Що таке основа похилої і основа перпендикуляра?
Що таке проекція похилої?
Що називається відстанню від точки до площини?

(За цим планом один учень будує малюнок і відповідає на запитання).

Запитання до класу

Які ви можете назвати випадки взаємного розміщення прямої і площини у просторі?
Назвіть ознаки паралельності прямої і площини, перпендикулярності прямої і площини.

Пояснення вчителя.

Якщо пряма паралельна площині або належить їй, то кут між ними дорівнює 0°.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між прямою і площиною дорівнює 90°.

Кут між прямою і площиною — це кут між прямою та її проекцією на площину. Отже, 0° ≤ φ ≤ 90°.

Запитання до класу

Наведіть життєвий приклад перпендикуляра
до площини.
Наведіть приклад похилої до площини з навколишнього середовища.
Якими приладами вимірюють кут між похилою і горизонтальною площиною геодезисти, будівельники доріг?

IV. Розв'язування задач.

Задача 1. Знайти товщину т вугільного пласта, якщо вертикальна свердловина нахилена до нього під кутом φ = 72° і проходить по вугіллю відстань h = 2,50 м.

Дано: h = 2,50 м, φ = 72°.

Знайти: т.

Розв'язання

т = h sіn φ, т = 2,50 ∙ sіn 72° 2,50 ∙ 0,90 = 2,375 2,4 (м).

Відповідь. т 2,4 м.

Задача 2 (колективне розв'язування біля дошки з коментуванням). З точки М до площини α проведено похилі АМ і МВ та перпендикуляр МС, який дорівнює а. Кут між кожною похилою та перпендикуляром 45°. Знайти:

1) площу ∆АВС, якщо проекції похилих перпендикулярні;

2) кут між похилими.

Дано: АМ і МВ — похилі, МС α, МС = а,

АМС = ВМС = 45°; АС ВС.

Знайти: S_АВС, АМВ.

Розв'язання

Якщо МС α, то МС АС і МС ВС.

∆АМС = ∆ВМС (прямокутні, АМС = ВМС). Тоді МА = МВ, АС = ВС, МАС = МВС = 45°, АС = СМ, АС = а, ВС = а.

З ∆АМС: . S_ABC = AC ∙ВС, .

З ∆АВС: АВ = , АМ = МВ = АВ = .

Отже, ∆АМВ — рівносторонній, тоді АМВ = 60°.

Відповідь. , АМВ = 60°.

V. Підсумок уроку.

VI. Домашнє завдання.

Задача. На якій глибині знаходиться станція метро, якщо її ескалатор має довжину 35 м і нахилений до площини горизонту під кутом 42°?

Навчально-методична картка

УРОК 7

Тема. Перпендикуляр і похила. Розв'язування задач.

Мета: формувати в учнів уміння й навички застосовувати означення перпендикуляра і похилої до розв'язування задач, розвивати просторову уяву. Виховувати культуру математичного запису.

Обладнання. Стереометричний ящик, кольорова крейда, мультимедійна дошка.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань.

Перевірка домашнього завдання.
Фронтальне опитування.

Що називається перпендикуляром, опущеним з даної точки на площину?
Що таке відстань від даної точки до площини?
Що називається похилою, проведеною з даної точки до площини?
Що таке проекція похилої на площину?
Що називається кутом між прямою і площиною?
Чому дорівнює кут між перпендикулярними прямою і площиною? паралельними прямою і площиною?
Що називається відстанню від прямої до паралельної їй площини?
Що називається відстанню між паралельними площинами?

Усне розв'язування задач з використанням мультимедійної дошки.

Задача 1. Довжина похилої 10 см, довжина перпендикуляра 8 см. Знайти довжину проекції похилої.

Задача 2. Довжина похилої а, С = 30°. Знайти довжину перпендикуляра.

Задача 3. Довжина перпендикуляра b, А = 45°. Знайти довжину похилої.

III. Розв'язування задач.

Задача .

Дано: ∆АВС, АСВ = 90°, АВ || α, АА₁ α, ВВ₁ α, АА₁ = ВВ₁ = 1 м,

А₁С = 3 м, СВ₁ = 5 м.

Знайти: АВ.

Розв'язання

АA₁ α, тоді АA₁ СА₁ і АА₁С = 90°.

З ∆ АА₁С знайдемо AС: , (м).

BB₁ α, тоді ВB₁ СB₁, BB₁С = 90°.

З ∆ BB₁С знайдемо BC: , (м).

З ∆АВС знайдемо АB: , (м).

Відповідь. АВ = 6 м.

Задача

Дано: АВСD — ромб, BC || α, BВ₁ α, СС₁ α,

ВВ₁ = СС₁ = 4 м, В₁D = 2 м, AС₁ = 8 м.

Знайти: АВ₁ = DС₁, B₁C₁.

Розв'язання

З ∆BB₁D (BB₁D = 90°) знайдемо BD:

, (м).

З ∆AСС₁ (AС₁C= 90°) знайдемо АС:

, (м).

У ромбі АВСD: АС² + BD² = 4АВ², ()² + ()² = 4АB², 4АB² = 100, АВ² = 25 , AB = 5 м.

З ∆ DC₁C знайдемо DС₁: , (м).

Відповідь. АВ₁= DС₁ = 3 м, B₁C₁ = 5 м.

Задача .

Дано: α || β, ХХ₁ β, YY₁ β.

Довести: ХХ₁= YY₁.

Доведення

Нехай X і Y дві довільні точки площини α. Їх відстані до площини β — це XX₁ і YY₁ , де ХХ₁ β і YY₁ β.

ХХ₁|| YY₁ (за теоремою 3.4).

(ХХ₁Y) α = ХY, (ХХ₁Y) β = Х₁Y₁. ХY|| X₁Y₁.

Отже, XYY₁X₁ — паралелограм і ХХ₁ = YY₁.

Задача.

Дано: АD α, АB і AC – похилі,

АВ = АС = 2 м, ВАС = 60°, ВD DС.

Знайти: АD.

Розв'язання

∆ ВАС — рівнобедрений, оскільки АВ = АС, тоді ABC = ACB = (180° – 60°) : 2 = 60°.

Отже, АВ = АС = BС = 2 м. Якщо похилі рівні, то їх проекції також рівні: DВ = DС, тому прямокутний трикутник ВDС — рівнобедрений.

З ∆ ВDС знайдемо BD = DС: ВС² = 2ВD², ВD² = 2, ВD = DС = (м).

АD α, тому АD DВ, АD DC.

З ∆ADB знайдемо АD: (м).

Відповідь. АD = м.

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання.

Навчально-методична картка

УРОК 8

Тема. Розв'язування задач. Самостійна робота.

Мета: формувати в учнів навички і вміння обчислювати довжини перпендикуляра і похилої до площини, знаходити кут між похилою і площиною, розвивати навички самостійної діяльності на уроці. Виховувати самостійність.

Обладнання. Ноутбук.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань.

Перевірка домашнього завдання.

III. Самостійна робота.

1-й варіант

Пряма АВ утворює з площиною α кут 60°. Знайти довжину проекції похилої АВ на площину α, якщо АВ = 48 см.
Сторона квадрата АВСD дорівнює 6 см, точка М знаходиться на відстані 6 см від кожної з його вершин. Знайти кут між прямою МА і площиною квадрата.
До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр DМ довжиною 12 см. Сторона квадрата 5 см. Знайти довжини похилих МА, МВ, МС.

2-й варіант

Довжина похилої АВ дорівнює 50 см, точка А віддалена від площини на 25 см. Знайти кут між похилою і площиною.
Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 3a, точка М віддалена від кожної з його вершин на 2а. Під якими кутами нахилені прямі МА,
МВ, МС до площини цього трикутника?
Точка М віддалена від кожної вершини квадранта на 13 дм. Знайти відстань від точки M до площини квадрата, якщо його сторона дорівнює 6дм.

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання.

3-й варіант

Довжини перпендикуляра і проекції похилої дорівнюють по 15 см. Знайти кут між похилою і площиною.
Точка М знаходиться на відстані 10 см від вершини рівностороннього трикутника зі стороною 6 см. Знайти відстань від точки М до площини трикутника.
Через точку О перетину діагоналей квадрата зі стороною 4 см проведено перпендикуляр ОМ = 2 см до площини квадрата. Знайти відстань від точки M до вершин квадрата.

Навчально-методична картка

УРОК 9

Тема. Теорема про три перпендикуляри.

Мета: сформулювати і довести теорему про три перпендикуляри, показати її практичне застосування, сприяти розвитку просторової уяви, самостійного мислення; прищеплювати інтерес до математики.

Обладнання. Модель до теореми про три перпендикуляри, стереометричний ящик.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань учнів.

Фронтальне опитування

Що називається перпендикуляром, опущеним з даної точки на площину?
Що називається похилою?
Що називається проекцією похилої?
Назвіть залежність між довжинами:

а) перпендикуляра і похилої,

б) рівних похилих,

в) різних похилих.

III. Вивчення нового матеріалу.

Доведення теореми можна здійснювати за малюнком на дошці або за моделлю.

Дано: AB α, AC – похила, ВС – проекція похилої АС на площині α.

с ВС,
с АС.

Довести:

с ВС,
с АС.

Доведення

Проведемо пряму СА₁ || АВ, тоді СА α. Проведемо площину β через прямі АВ і А₁С. Пряма с СА₁ і с СВ , тому пряма с β, а отже, с АС.

Якщо пряма с АС і с СА₁, то с β. ВС лежить у площині β, тому с ВС. Теорему доведено.

IV. Розв'язування задач.

Учні виконують малюнки самостійно на окремому аркуші, а потім перевіряють правильність побудови за готовим малюнком, що проектується з кодоскопа.

Задача 1. З вершини А рівнобедреного ∆ АВС проведено перпендикуляр АО до його площини. Побудувати відрізок, який визначає відстань від точки D до сторони ВС.

Розв'язання

∆АВС — рівнобедрений (АС = АВ), АD (АВС).

У ∆АВС проведемо медіану АК до основи ВС, АК ВС. Сполучимо точки D і К, АD (АВС), АК — проекція похилої ОК на площину АВС. ВС АК, то ВС ОК (за теоремою про три перпендикуляри). Отже, DК — шукана відстань.

Відповідь. Шукана відстань ОК.

Задача 2. Знайти DК з попередньої задачі, якщо основа ВС рівнобедреного трикутника АВС дорівнює 12 см, бічна сторона 10 см, довжина перпендикуляра АО дорівнює 6 см.

Відповідь. DК = 10 см.

Задача

Дано: ∆ АВС, точка О — центр вписаного кола, ОN (АВС).

Довести: кожна точка ON рівновіддалена від сторін ∆ АВС.

Доведення

Нехай X — довільна точка прямої ОN і X ≠ O.

Опустимо з точки О перпендикуляри на сторони ∆АВС: ОК АВ, ОL СВ, ОМ АС. ОК = ОL = ОМ (за умовою). Сполучимо ці точки з точкою X. ХК — похила, ОК — її проекція. За теоремою про три перпендикуляри ХК АВ. Аналогічно доводимо, що ХL СВ і ХМ АС.

∆ ОХК = ∆ ОХL = ∆ ОХМ (за двома катетами).

Отже, ХК = ХL = ХМ.

V. Підсумок уроку.

VI. Домашнє завдання.

Контрольна робота

Перпендикулярність прямих у просторі.

Перпендикулярність прямої та площини

Варіант 1

У завданнях 1-2 виберіть одну правильну відповідь

(1 бал) До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр SC. Укажіть пряму, яка перпендикулярна до прямої SА

А) BD Б) AC В) SA Г) AD Д) AB

(1 бал) Похила ВС, проведена до площини α, утворює з перпендикуляром до цієї площини кут 30°. Знайдіть довжину похилої ВС, якщо її проекція на площину α дорівнює а.

А) Б) В) Г) Д)

(2 бали) Установити відповідність між відрізками (1-4) , побудованими на гранях і ребрах куба, та величинами кутів між ними (А-Д)

1	ВD i В₁D₁	А	60°
2	BС₁ i AD	Б	0°
3	A₁D i DС	В	45°
4	ВС₁ i СD₁	Г	90°
		Д	30°

У завданнях 4-5 розв’яжіть задачу та запишіть відповідь.

(1 бал) Знайдіть кут між похилою АВ та площиною α, якщо довжина АВ дорівнює 32см, а її проекція на площину α – 16 см.

(2 бали) Відрізок АВ не перетинає площину α. Знайдіть відстань від середини даного відрізка до площини α, якщо його кінці віддалені від неї на 15см і 27см.

Розв’язування задач 6-7 повинно мати обгрунтування. У ньому потрібно записати послідовні логічні дії та пояснення.

(2 бали) З точки А до площини α проведено перпендикулярні похилі АВ і АС. Знайдіть відстань від точки А до площини α, якщо довжина відрізка ВС дорівнює 10см, а похилі АВ і АС утворюють із площиною α кути по 45°.

(3 бали) Точка М віддалена від кожної із сторін трикутника АВС на 13см, а від його площини – на 5см. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо його площа дорівнює 96см².

Контрольна робота

Перпендикулярність прямих у просторі.

Перпендикулярність прямої та площини

Варіант 2

У завданнях 1-2 виберіть одну правильну відповідь

(1 бал) До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр SB. Укажіть пряму, яка перпендикулярна до прямої SD

А) BD Б) AC В) SA Г) AD Д) AB

(1 бал) Похила ВС, проведена до площини α, утворює з перпендикуляром до цієї площини кут 60°. Знайдіть проекцію похилої ВС на площину α, якщо довжина похилої дорівнює а.

А) Б) В) Г) Д)

(2 бали) Установити відповідність між відрізками (1-4) , побудованими на гранях і ребрах куба, та величинами кутів між ними (А-Д)

1	AD₁ i BC₁	А	60°
2	BA₁ i AD₁	Б	0°
3	AB i AD₁	В	45°
4	DC₁ i AB	Г	90°
		Д	30°

У завданнях 4-5 розв’яжіть задачу та запишіть відповідь.

(1 бал) Знайдіть кут між похилою АВ та площиною α, якщо довжина АВ дорівнює 30см, а точка А віддалена від площини α на 15см.

(2 бали) Відрізок АВ не перетинає площину α. Знайдіть відстань від середини даного відрізка до площини α, якщо його кінці віддалені від неї на 14см і 18см.

(2 бали) З точки А до площини α проведено перпендикулярні похилі АВ і АС. Знайдіть відстань між точками В і С, якщо відстань від точки А до площини α дорівнює 3см, а похилі АВ і АС утворюють з площиною α кути по 60°.

(3 бали) У рівнобедреному трикутнику АВС АВ=ВС=17см, АС=16см. Точка Р знаходиться на відстані 8 см від усіх сторін трикутника АВС. Знайдіть відстань від точки Р до площини трикутника.

Контрольна робота

Перпендикулярність прямих у просторі.

Перпендикулярність прямої та площини

Варіант 3

У завданнях 1-2 виберіть одну правильну відповідь

(1 бал) До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр SB. Укажіть пряму, яка перпендикулярна до прямої SС

А) BD Б) AC В) SA Г) AD Д) AB

(1 бал) Похила ВС, проведена до площини α, утворює з перпендикуляром до цієї площини кут 60°. Знайдіть довжину похилої ВС, якщо її проекція на площину α дорівнює а.

А) Б) В) Г) Д)

(2 бали) Установити відповідність між відрізками (1-4) , побудованими на гранях і ребрах куба, та величинами кутів між ними (А-Д)

1	AВ₁ i DC₁	А	60°
2	DС₁ i СВ₁	Б	0°
3	AD i DС₁	В	45°
4	АВ₁ i DС	Г	90°
		Д	30°

У завданнях 4-5 розв’яжіть задачу та запишіть відповідь.

(1 бал) Знайдіть кут між похилою АВ та площиною α, якщо довжина АВ дорівнює 36см, а її проекція на площину α – 18 см.

(2 бали) Відрізок АВ не перетинає площину α. Знайдіть відстань від середини даного відрізка до площини α, якщо його кінці віддалені від неї на 8см і 24см.

(2 бали) З точки А до площини α проведено перпендикулярні похилі АВ і АС. Знайдіть відстань від точки А до площини α, якщо довжина відрізка ВС дорівнює 10см, а похилі АВ і АС утворюють із площиною α кути по 30°.

(3 бали) Точка М віддалена від кожної із сторін трикутника АВС на 10см, а від його площини – на 6см. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо його площа дорівнює 96см².

Контрольна робота

Перпендикулярність прямих у просторі.

Перпендикулярність прямої та площини

Варіант 4

У завданнях 1-2 виберіть одну правильну відповідь

(1 бал) До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр SC. Укажіть пряму, яка перпендикулярна до прямої SD

А) BD Б) AC В) SA Г) AD Д) AB

(1 бал) Похила ВС, проведена до площини α, утворює з перпендикуляром до цієї площини кут 30°. Знайдіть проекцію похилої ВС на площину α, якщо довжина похилої дорівнює а.

А) Б) В) Г) Д)

(2 бали) Установити відповідність між відрізками (1-4) , побудованими на гранях і ребрах куба, та величинами кутів між ними (А-Д)

1	АС i А₁C₁	А	60°
2	BС₁ i AВ	Б	0°
3	AB₁ i ВС₁	В	45°
4	АD₁ i ВС	Г	90°
		Д	30°

У завданнях 4-5 розв’яжіть задачу та запишіть відповідь.

(1 бал) Знайдіть кут між похилою АВ та площиною α, якщо довжина АВ дорівнює 18см, а точка А віддалена від площини α на 9см.

(2 бали) Відрізок АВ не перетинає площину α. Знайдіть відстань від середини даного відрізка до площини α, якщо його кінці віддалені від неї на 11см і 19см.

(2 бали) З точки А до площини α проведено перпендикулярні похилі АВ і АС. Знайдіть відстань між точками В і С, якщо відстань від точки А до площини α дорівнює 4см, а похилі АВ і АС утворюють з площиною α кути по 45°.

(3 бали) Точка К віддалена на 5см від кожної із сторін трикутника АВС. Знайдіть відстань від точки К до площини трикутника, якщо АВ=13см, ВС=14см, АС=15см.

docx

Завантажити

Зберегти на потім

Додав(-ла)

Лаврук Василь

Пов’язані теми

Геометрія, 10 клас, Методичні рекомендації

Додано

26 січня 2025

Переглядів

541

Оцінка розробки

Відгуки відсутні